(2012•鹰潭一模)已知函数f(x)=ex-ln(x+m)-1在x=0处取得极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)已知0≤b<a,证明:
e
a−b
−1>ln
a+1
b+1
.
解题思路:(Ⅰ)求导函数,根据函数f(x)=ex-ln(x+m)-1在x=0处取得极值,可得f'(x)=0,从而可求m=1,进而可确定函数的单调性,从而可求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)构造函数G(x)=ex-b-1-ln[x+1/b+1],G'(x)=ex-b-[1/x+1],可得当x>b≥0时,G'(x)>0,所以G(x)单调递增,根据 G(b)=1-[1/b+1]=
b
b+1
≥0
,即可证得结论.
证明:(Ⅰ)求导函数,f′(x)=ex−
1
x+m
因为函数f(x)=ex-ln(x+m)-1在x=0处取得极值,所以f'(x)=0,∴m=1
所以f′(x)=ex−
1
x+1,函数的定义域为(-1,+∞)
∵-1<x<0时,f'(x)<0;x>0时,f'(x)>0;
∴x=0是函数的极小值点,也是最小值点
∴函数f(x)的最小值为f(0)=0
(Ⅱ)构造函数G(x)=ex-b-1-ln[x+1/b+1],G'(x)=ex-b-[1/x+1]
当x>b≥0时,G'(x)>0,所以G(x)单调递增
又因为 G(b)=1-[1/b+1]=[b/b+1≥0
∴0≤b<a,G(a)>G(b)≥0
∴ea-b-1-ln
a+1
b+1]>0
即 ea−b−1>ln
a+1
b+1
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的极值与单调性,考查构造函数证明不等式,解题的关键是构建函数,正确求导.
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