（2012•鹰潭一模）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）-1在x=0处取得极值．
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解题思路：（Ⅰ）求导函数，根据函数f（x）=ex-ln（x+m）-1在x=0处取得极值，可得f'（x）=0，从而可求m=1，进而可确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）构造函数G（x）=ex-b-1-ln[x+1/b+1]，G'（x）=ex-b-[1/x+1]，可得当x＞b≥0时，G'（x）＞0，所以G（x）单调递增，根据 G（b）=1-[1/b+1]=
b
b+1
≥0
，即可证得结论．
证明：（Ⅰ）求导函数，f′(x)＝ex−
1
x+m
因为函数f（x）=ex-ln（x+m）-1在x=0处取得极值，所以f'（x）=0，∴m=1
所以f′(x)＝ex−
1
x+1，函数的定义域为（-1，+∞）
∵-1＜x＜0时，f'（x）＜0；x＞0时，f'（x）＞0；
∴x=0是函数的极小值点，也是最小值点
∴函数f（x）的最小值为f（0）=0
（Ⅱ）构造函数G（x）=ex-b-1-ln[x+1/b+1]，G'（x）=ex-b-[1/x+1]
当x＞b≥0时，G'（x）＞0，所以G（x）单调递增
又因为 G（b）=1-[1/b+1]=[b/b+1≥0
∴0≤b＜a，G（a）＞G（b）≥0
∴ea-b-1-ln
a+1
b+1]＞0
即 ea−b−1＞ln
a+1
b+1
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查构造函数证明不等式，解题的关键是构建函数，正确求导．
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