一、x09计算

1．x09四则混合运算繁分数

⑴x09运算顺序

⑵x09分数、小数混合运算技巧

一般而言：

①x09加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式；

②x09乘除运算中,统一以分数形式.

⑶带分数与假分数的互化

⑷繁分数的化简

2．x09简便计算

⑴凑整思想

⑵基准数思想

⑶裂项与拆分

⑷提取公因数

⑸商不变性质

⑹改变运算顺序

①x09运算定律的综合运用

②x09连减的性质

③x09连除的性质

④x09同级运算移项的性质

⑤x09增减括号的性质

⑥x09变式提取公因数

形如：

3．x09估算

求某式的整数部分：扩缩法

4．x09比较大小

①x09通分

a.x09通分母

b.x09通分子

②x09跟“中介”比

③x09利用倒数性质

若 ,则c>b>a..形如： ,则 .

5．x09定义新运算

6．x09特殊数列求和

运用相关公式：

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n

二、x09数论

1．x09奇偶性问题

奇 奇=偶 奇×奇=奇

奇 偶=奇 奇×偶=偶

偶 偶=偶 偶×偶=偶

2．x09位值原则

形如： =100a+10b+c

3．x09数的整除特征：

整除数x09特 征

2x09末尾是0、2、4、6、8

3x09各数位上数字的和是3的倍数

5x09末尾是0或5

9x09各数位上数字的和是9的倍数

11x09奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数

4和25x09末两位数是4（或25）的倍数

8和125x09末三位数是8（或125）的倍数

7、11、13x09末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数

4．x09整除性质

①x09如果c|a、c|b,那么c|(a b).

②x09如果bc|a,那么b|a,c|a.

③x09如果b|a,c|a,且（b,c）=1,那么bc|a.

④x09如果c|b,b|a,那么c|a.

⑤x09a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除.

5．x09带余除法

一般地,如果a是整数,b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r,0≤r＜b,使得a=b×q+r

当r=0时,我们称a能被b整除.

当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r

6. 唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即

n= p1 × p2 ×...×pk

7.x09约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么：

n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)

n的所有约数和：（1+P1+P1 +…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ）

8.x09同余定理

① 同余定义：若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(mod m)

②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除.

③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和.

④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差.

⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积.

9．完全平方数性质

①平方差： A -B =（A+B）（A-B）,其中我们还得注意A+B, A-B同奇偶性.

②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数.

约数个数为3的是质数的平方.

③质因数分把数字分解,使他满足积是平方数.

④平方和.

10．孙子定理（中国剩余定理）

11．辗转相除法

12．数论解题的常用方法：

枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

三、x09几何图形

1．x09平面图形

⑴多边形的内角和

N边形的内角和=(N-2)×180°

⑵等积变形（位移、割补）

①x09三角形内等底等高的三角形

②x09平行线内等底等高的三角形

③x09公共部分的传递性

④x09极值原理（变与不变）

⑶三角形面积与底的正比关系

S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4

⑷相似三角形性质（份数、比例）

① ; S1︰S2=a2︰A2

②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2

⑸燕尾定理

S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；

S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；

S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；

⑹差不变原理

知5-2=3,则圆点比方点多3.

⑺隐含条件的等价代换

例如弦图中长短边长的关系.

⑻组合图形的思考方法

①x09化整为零

②x09先补后去

③x09正反结合

2．x09立体图形

⑴规则立体图形的表面积和体积公式

⑵不规则立体图形的表面积

整体观照法

⑶体积的等积变形

①水中浸放物体：V升水=V物

②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水

⑷三视图与展开图

最短线路与展开图形状问题

⑸染色问题

几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系.

四、x09典型应用题

1．x09植树问题

①开放型与封闭型

②间隔与株数的关系

2．x09方阵问题

外层边长数-2=内层边长数

（外层边长数-1）×4=外周长数

外层边长数2-中空边长数2=实面积数

3．x09列车过桥问题

①车长+桥长=速度×时间

②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间

③车长甲+车长乙=速度差×追及时间

列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题

车长=速度和×相遇时间

车长=速度差×追及时间

4．x09年龄问题

差不变原理

5．x09鸡兔同笼

假设法的解题思想

6．x09牛吃草问题

原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间

7．x09平均数问题

8．x09盈亏问题

分析差量关系

9．x09和差问题

10．x09和倍问题

11．x09差倍问题

12．x09逆推问题

还原法,从结果入手

13．x09代换问题

列表消元法

等价条件代换

五、x09行程问题

1．x09相遇问题

路程和=速度和×相遇时间

2．x09追及问题

路程差=速度差×追及时间

3．x09流水行船

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

4．x09多次相遇

线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数×2-1

环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数

其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数

5．x09环形跑道

6．x09行程问题中正反比例关系的应用

路程一定,速度和时间成反比.

速度一定,路程和时间成正比.

时间一定,路程和速度成正比.

7．x09钟面上的追及问题.

①x09 时针和分针成直线；

②x09时针和分针成直角.

8．x09结合分数、工程、和差问题的一些类型.

9．x09行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法.

六、x09计数问题

1．x09加法原理：分类枚举

2．x09乘法原理：排列组合

3．x09容斥原理：

①x09总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC

②x09常用：总数量=A+B-AB

4．x09抽屉原理：

至多至少问题

5．x09握手问题

在图形计数中应用广泛

①x09角、线段、三角形,

②x09长方形、梯形、平行四边形

③x09正方形

七、x09分数问题

1．x09量率对应

2．x09以不变量为“1”

3．x09利润问题

4．x09浓度问题

倒三角原理

例：

5．x09工程问题

① 合作问题

②x09水池进出水问题

6．x09按比例分配

八、x09方程解题

1．x09等量关系

①x09 相关联量的表示法

例： 甲 + 乙 =100 甲÷乙=3

x 100-x 3x x

②解方程技巧

恒等变形

2．x09二元一次方程组的求解

代入法、消元法

3．x09不定方程的分析求解

以系数大者为试值角度

4．x09不等方程的分析求解

九、x09找规律

⑴周期性问题

①x09年月日、星期几问题

②x09余数的应用

⑵数列问题

①x09等差数列

通项公式 an=a1+(n-1)d

求项数： n=

求和： S=

②x09等比数列

求和： S=