在△ABC中，两个定点A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三条高线的交点）是AB边上高线CD的中点．
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（1）设动点C（x，y）则D（x，0）．因为H是CD的中点，故 H(x，
y
2 )
因为AH⊥BC所以k AH•k BC=-1故
y
2
x+3 •
y
x-3 =-1
整理得动点C的轨迹方程
x 2
9 +
y 2
18 =1(y≠0)
（2）设l：y=2x+m并代入
x 2
9 +
y 2
18 =1(y≠0) 得6x 2+4mx+m 2-18=0，
∵△=（4m） 2-4×6×（m 2-18）＞0
∴54-m 2＞0
即 m∈(-3
6 ，3
6 ) ，
|PQ|=
(1+ 2 2 )[ (-
4m
6 ) 2 -4•
m 2 -18
6 ] =
10
3
54- m 2
又原点O到直线l的距离为 d=
|m|
5
∴S △OPQ=
1
2 ×
10
3 ×
54 -m 2 ×
|m|
5 =
2
6
(54 -m 2 )m 2 ≤
2
6 ×
54 -m 2 +m 2
2 =
9
2
2
当且仅当54-m 2=m 2即 m=±3
3 时等号成立，
故△OPQ面积的最大值为
9
2
2 ．
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