如图，⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设AD=x，BC=y．
3个回答
解题思路：（1）根据切线的性质得到它们都和直径垂直就可证明；
（2）作直角梯形的另一高，构造一个直角三角形，根据切线长定理和勾股定理列方程，再表示出关于y的函数关系式；
（3）根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积，再根据求差法比较它们的大小．
（1）证明：∵AB是直径，AM、BN是切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN．
（2）过点D作DF⊥BC于F，则AB∥DF．
由（1）AM∥BN，∴四边形ABFD为矩形．
∴DF=AB=2，BF=AD=x．
∵DE、DA，CE、CB都是切线，
∴根据切线长定理，得DE=DA=x，CE=CB=y．
在Rt△DFC中，DF=2，DC=DE+CE=x+y，CF=BC-BF=y-x，
∴（x+y）2=22+（y-x）2，
化简，得y=[1/x]（x＞0）．
（3）由（1）、（2）得，四边形的面积S=[1/2]AB（AD+BC）=[1/2]×2×（x+[1/x]），
即S=x+[1/x]（x＞0）．
∵（x+[1/x]）-2=x-2+[1/x]=（
x-
1
x）2≥0，当且仅当x=1时，等号成立．
∴x+[1/x]≥2，即S≥2．
点评：
本题考点： 切线的性质；矩形的性质；切割线定理．
考点点评： 此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、勾股定理以及求差法比较两个数的大小．
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