如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
1个回答

（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴PA⊥BD．

又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC…（6分）

（Ⅱ）依题意，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD与平面ABCD的交线为AD，

过点B作BM⊥AD，垂足为M，则BM⊥平面PAD．

在平面PAD内过M作MN⊥PD，垂足为N，连BN，

则PD⊥平面BMN，

∴∠BNM为二面角A-PD-B的平面角．…（9分）

∵AB=AD，∠BAD=60°，

∴ BM=

3

2 AB=

3 ，DM=1．…（10分）

又∵PA=AB，得 MN=

2

2 ，∴ BN=

14

2 ．…（11分）

∴Rt△BMN中， cos∠BNM=

MN

BN =

2

2

14

2 =

7

7 ．

即二面角A-PD-B的余弦值为

7

7 ．…（12分）

相关问题