1.频率的概念就是从机械旋转运动来的, 定义为角速度,对于周期运动,角速度也就是角频率.通常 θ 以反时针为正,因此转动的正频率是反时针旋转角速度,负频率就是顺时针旋转角速度.这就是它的物理意义,正、负号不影响它的物理意义.
2.电的单位向量（电压或电流）围绕原点的转动,可以用 表示,这是在电路中都清楚的. θ 的正负所代表的物理意义从未有什么争议,它的导数 的物理意义不言自明,取正取负都不影响定义,为什么取负就会失去物理意义了呢?
3.在信号与系统课程中,为了简化问题,便于初学者掌握概念,开宗明义地把研究范围限定于实信号 f(t) ,也就是在电压旋转向量 中,只研究它在实平面或虚平面上的一个投影-sin( ω t)或cos( ω t),研究复信号 的特性与只研究实信号sin( ω t)或cos( ω t) 是两个不同的层次.前者是反映信号在空间的全面特性,后者只研究了信号在一个平面（x-t或y-t x-t或y-t θ ,更看不到 ω ,只有在x-y平面上才能看到这两个参数.
4.同样,用 或sin( ω t)或cos( ω t)作为核来做傅立叶变换所得的结果也是前者全面,后者片面.对实信号做傅立叶变换时,如果按指数 求,我们将得到双边频谱.以角频率为 Ω 的余弦信号为例,它有具有位于 ±Ω 两处的,幅度各为0.
5,相角为零的频率特性.它的几何关系可以用右图表示.两个长度为0.5的向量,分别以 ±Ω 等速转动,它们的合成向量就是沿实轴方向的余弦向量.而沿虚轴方向的信号为零.可见必须有负频率的向量存在,才可能构成纯粹的实信号.所以欧拉公式 是有其明确的几何意义（即物理意义）的.在我写的《数字信号处理—MATLAB释义与实现》中给出了动画,并给出了正、负数字频率的几何解释.
5.了解了正余弦信号中包括正负双边频谱,不仅有物理意义,而且具有重要的工程价值.例如,可以根据这个概念来构成旋转电磁场,设计电动机.上面给出了单位余弦波在正负两个频率上有幅度相等,相角相均为零的两根谱线；同样,单位正弦波在同样正负两个频率上也有幅度相等的谱线,不过它们的相角分别为 ±π /2.用立体图表示如图3(a).如果把正弦和余弦两个信号的正频率频谱设计得相等相反,则把它们合成以后,就只剩下负频率的频谱,它就构成一个单纯负向旋转的电信号.为此可以把正弦信号在空间上转动 π /2,使它的正频率谱线恰好与余弦信号的正频率谱线反向,这样两个信号的合成（见图3 (b)）就成为一个只有负频率谱线的信号,当然它在时域必然是复数信号,怎么可能是没有物理意义的东西呢?常用的二相异步电机就是这样负向转动的.而要使该电机正转,则要使两者的负频率频谱互相抵消,只保留其正频率频谱.
6.实信号的正负频谱是奇对称的.如果它的单边频带宽W,考虑到负频率频谱,实际占的频谱区域就是 ± W,所以通信中要传输这样的信号就需要占用2W的频带宽度.为了节省频带,人们就发明了Hilbert变换,它可以把信号的正频率频谱移相负90度,把负频率频谱移相90度,然后再将这个信号移相90度与原信号相加,使两者的负频率频谱互相抵消,正频率频谱加倍,构成一个没有负频率频谱的复信号.（如同上面所说的二相异步电机那样）.这个复信号的带宽就只占W了.用这个方法,使频带节约了一半.在这里,我们看到负频率频谱的重要性,在传送信号时.它是不可或缺的部分.另外,也看到负频率频谱与复信号的密切关系.
7.多普勒频率又是一个负频率的实例,如果信号的发射源向我们运动而来,那么多普勒频率就是正频率；如果信号的发射源向我们远离而去,那么多普勒频率就是负频率,在这里正负频率都是有明确物理意义的.虽然多普勒频率是一种差频,它仍然符合上述的原理,在实信号域只能求出多普勒频率的大小,但检测不出它的正负.要得到负频率,必须从复信号域考虑,利用信号实部和虚部的相位关系来判断,从而找到相应的原理和设备框图.
8 .负频率频谱的物理意义往往不为某些人们理解,其主要原因是他们忘记了实数信号平面内研究问题的局限性.因为在信号与系统课程中研究的信号通常只限于实信号.从实信号的x-t的波形图上根本看不出频率的转向和正负,频率只能表现为每秒信号重复的次数.分不清正负就以为是正频率,只是一种习惯性的思维方法而已.科学地说,转角和频率的正负,必须在x-y平面或三维信号空间中才能观察到.因为观察的方法不对,看不到其意义,从而否认它的存在,这是认识论上的错误,不是科学的方法.这就和“瞎子摸象”的故事所说的那样,摸象腿的人否认象有鼻子,毛病出在他的验证方法.他老想在象腿（实信号域）上找到象鼻子（负频率）,当然也永远找不到.正确的方法是必须换一个角度,摸别的部位（复信号域）,才能得到全面的知识.
9 .某些人不承认负频率还是由于固执地坚持 ” 频率是每秒钟循环的次数 ” 的陈旧概念,其实频率的概念是不断发展充实的.从傅立叶变换的核 已经可以清楚地看到它用到的是角频率即角速度的概念,单位是弧度/秒,而且具有明确的方向和正负号.而进入到数字信号处理时频率又进一步发展为数字频率,它的单位是弧度,取值范围是[- π , π ].它的物理意义已变为两次采样时刻之间向量转过的角度,在文献[1]中对此有详细的说明.如果停留在 ” 每秒次数 ” 的旧概念上,那就永远无法接受新的事物.
10.我认为,“×××只有数学意义,没有物理意义”这样的话,在哲学上是不对的.教师和科学工作者在任何情况下都不该这么认识,更不能写在书上和幻灯片上.数学是更抽象、更深刻地描述物理现象的工具,其中通常包含了极为重要的结果,而物理是实证的科学,有时限于条件,人们暂时还认识不到其物理意义.数学超前物理是科学史上多次出现的现象,比如虚数、非欧氏几何、.等.这时应该努力去理解它,认识它,而不是轻易地放弃它.给学生讲课时,只能说“我们目前还没有想通×××的物理意义”,自己没想通,没找到的事物,不能说它不存在.这是我自己探索科学的座右铭,也希望青年师生有这种钻研精神.
11 .这个问题的提出,是因为我在旁听“信号与系统”课程时,在老师的幻灯片上看到了“关于双边谱,负频率只有数学意义,没有物理意义”的提法.我觉得这是个大问题,恐怕不是一个老师的想法.回来一问,果然如此.据说也不单是我们学校的问题,有的教材上甚至都这么写.讨论这个问题,不仅是理论上的探讨,对于提高教学质量是有重大意义的.
今天,信息技术如此的发展,很大程度是由于深入大量地开发频谱资源的结果.在同学刚进入这个资源库的时候,我们要引导他们对这个宝藏发生极大的兴趣,非常珍惜这个宝藏,去深钻,去挖掘.不能轻率地、毫无根据地一句话就把它一半扔掉了.
在入门的时候,当然不可能把我上面说的概念统统灌输给学生,要顺序渐进.但老师首先要有更宽广的知识面和更科学的思维方法,教出的学生的才会具备更多的想象力和创造性.所以我希望教信号与系统课和信号处理课的老师参与这个讨论.特别希望听到有论据的反面意见.
[1] 陈怀琛,数字信号处理教程—MATLAB释义与实现,电子工业出版社,2004年10月 《MATLAB及其在理工课程中的应用指南》（十一五规划版） 第9章 在信号与系统中的应用 9.4 频谱及其几何意义 频谱分析是信号与系统课程中最重要的内容之一,许多读者在学习中感到抽象,往往只能从数学上承认时域信号与它的频谱之间的变换关系,而没有理解它的物理意义.用MATLAB可以帮助读者建立形象的几何概念,真正掌握它.首先来看欧拉公式,它是以最简明的方式建立了信号频域与时域的关系： 它说明一个最简单的实余弦信号可以由正、负两个 Ω 0频率分量合成.在复平面上,正的 Ω 0对应于反时针旋转的向量,负的 Ω 0对应于顺时针旋转的向量,当这两个向量的幅度相同,而相角符号相反时,就合成为一个在实轴上的向量.它的相角为零,大小按正弦变化,形成了实信号cos Ω 0t.（如图9-11所示）.推而广之,任何实周期信号必然具有正、负两组频频率的频谱成分,正、负频率频谱的幅度对称而相位反对称,或者说,是共轭的.如果频谱不止这两项,而是有四项或更多,它们的合成仍然可以用几何动画来表示.可以把每个频谱看作一根长度等于频谱幅度、按频率 Ω 旋转的杆件,频谱的相加等价于多节杆件首尾相接,杆件末端的轨迹就描述了生成的时域波形.因为这个端点是在平面上运动,所以它将产生复信号,在实轴和虚轴上的投影分别为实信号和虚信号.
【例9-4-1】设计一个演示程序,它能把四个用户任意给定集总频谱合成并生成对应的时域信号.
建模 按上述多节杆合成模型程序设计包括三个主要部分：
（1）各频谱分量的输入,包括其幅度和频率（有正负号）；
（2）将各分量当作转动的杆件首尾相接；
（3）记录多节杆系末端的轨迹画出图形.
MATLAB程序exn941 %
（1）给频谱向量赋值 N=input('N(输入向量个数,限定N不大于4)= '); for i=1:N i,a(i)=input('振幅a(i)= '); w(i)=input('角频率w(i)='); end %
（2）将各个频谱向量相加合成并画图 % 此处应该把各时刻的图形转为动画,此处省略了动画的语句） t=0:0.1:20;lt=length(t); figure(2) ,subplot(2,2,1),plot(real(q(4,:)),imag(q(4,:))),grid on a(1)=1,w(1)=-1； a(2)=1,w(2)=--1； a(3)=0.5,w(3)=3； a(4)=0.5,w(1)=-4；在此处,为了显示复信号,我们有意把输入频谱设成不对称的.
于是读者将看到四节杆的运动动画,并得到杆系及其端点在复平面上的轨迹,如图9-12,改变了比例尺的轨迹见图9-13子图(a).将它在x,y两方向的投影与时间轴的关系画在子图(b)和(c)中,我们就得到信号与系统课程中常见的实信号曲线. 输入频谱的幅度可以是负数,也可以是虚数,甚至可以是复数,它不仅反映了频谱的大小,还反映了该向量的起始相位；频谱的频率则只能是可正可负的实数,正频率和负频率以及在该频率上频谱的意义在此不言自明.
读者可以做各种各样的试验,例如当两组频率具有倍频关系时,得到的是周期信号,如果频率比是任意小数,那将得出非周期的信号；另外,这样的演示只适用于集总频谱,对于分布的频谱密度,就要把它想象为若干小的集总频谱的叠合.总支有了这样的形象演示,可以大大扩展时
