在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中 ,底面ABCD是菱形AB=2 ,AA1=4,∠DAB=60度,点E是BC的中点.
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（I）连接CD1,
∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1且B1C1∥BC,B1C1=BC
∴四边形A1D1BC是平行四边形,可得CD1∥A1B
∵△C1CD1中,EF是中位线,∴EF∥CD1
∴EF∥A1B-----（3分）
∵EF?面ABB1A1,A1B?面ABB1A1
∴EF∥平面A1BD；…（6分）
（II）连接AC与BD相交于点O,连接A1O,EO
∵AA1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥AA1
∵菱形ABCD中,AC⊥BD,AC、AA1是平面AA1C1C内的相交直线,
∴BD⊥平面AA1C1C
∵A1O、EO?平面AA1C1C,∴A1O⊥BD、EO⊥BD
∴∠A1OE就是二面角A1-BD-E的平面角,
因此,要使A1-BD-E为直二面角,即∠A1OE=90°,可得∠A1OA+∠EOC=90°
∴∠OEC=∠A1OA=90°-∠EOC,结合∠A1AO=∠OCE=90°,得△A1AO～△OCE．
设CE=x,所以 AA1OC= OACE,…（*）
∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形,AB=2
∴AO=OC= 12AC= 3,
又因为AA1=4,代入（*）可得 43= 3x,解之得x= 34
∴当CE的长度为 34时,二面角A1-BD-E为直二面角
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