．(本题8分)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的
11个回答
（1）由折叠知BE=EM,∠B=∠EMP=90°．
①△AEM的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM．
∵AB=4,M是AD中点,
∴△AEM的周长=4+2=6（cm）；
②现证明EP=AE+PD
方法一：取EP的中点G,则在梯形AEPD中,MG为中位线,
∴MG= （AE+PD）,
在Rt△EMP中,MG为斜边EP的中线,
∴MG= EP,
∴EP=AE+PD．
方法二：延长EM交CD延长线于Q点．
∵∠A=∠MDQ=90°,AM=DM,∠AME=∠DMQ,
∴△AME≌△DMQ．
∴AE=DQ,EM=MQ．
又∵∠EMP=∠B=90°,
∴PM垂直平分EQ,有EP=PQ．
∵PQ=PD+DQ,
∴EP=AE+PD．
（2）△PDM的周长保持不变．
设AM=x,则MD=4-x．
由折叠性质可知,EM=4-AE,
在Rt△AEM中,AE2+AM2=EM2,即AE2+x2=（4-AE）2
∴AE= （16-x2）
又∵∠EMP=90°,∴∠AME+∠DMP=90°．
∵∠AME+∠AEM=90°,∴∠AEM=∠DMP．
又∠A=∠D,
∴△PDM∽△MAE．
∴
∴C△PDM=C△MAE• =（4+x）• =8．
∴△PDM的周长保持不变．
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