1、反证法：
（为表达方便,记a=b(mod c)表示a除以c余数为b,或者说a,b对于c同余）
(原本应该写作三杠的等号)
p是f(x)所有的系数的约数
=>
f(x)可表示为
f(x)=ax^n+bx^(n-1)+.
=(a'*p)x^n+(b'*p)x^(n-1)+...
=p*(a'x^n+b'x^(n-1)+.)
其中a=a'*p,.且a'.皆为整数
=>
f(x)=0(mod p)
假若题设结论不成立
即
p不是g(x)也不是h(x)的所有系数的约数
=>
g(x)无法表示为g(x)=p*g'(x)（g'中系数皆为整数）
(这一步若要更详细点,再用一次反正假设)
同样的
h(x)也不可
=>
g(x)=Gp不=0(mod p)以及h(x)=Hp不=0(mod p)
=>
g(x)h(x)=Gp*Hp不=0（mod p）
（这一步乘法若需要更详细证明,可用(mp+Gp)*(np+Hp)展开来证）
这与
f(x)=0(mod p)矛盾
=>
题设结论正确
证毕
2、
这道题的原题可以等价的写作一个小定理：
“一个整系数多项式在有理数域上可约的充要条件是在整数域中可约”
1>充分条件
很显然,只要把满足f(x)=g(x)h(x)的整数系数的h(x),g(x)
分别乘以r和1/r就可以得到有理数样式了
（具体的r视情况而定,
最简单的,比如取一个比所有系数都大的素数）
2>必要条件（就是本题所需的证明!）
根据题设,已存在有：
f(x)=g(x)h(x),g与h系数都是有理数
对于g（比如g(x)=2/3x+4/9）
设其系数分母公约数为q(比如对于上式,q=9)
则
q*g(x)是一个整数系数多项式
(比如9*(2/3x+4/9)=6x+4是整数系数多项式)
将q*g(x)系数中的最大公约数p提出来(比如对于6x+4,p=2)
记作q/p*g(x)=g1(x)
(比如对于上式：9/2*(2/3x+4/9)=3x+2)
那么g1(x)为本原多项式（即系数皆为整数且互素）
简写为
g(x)=m*g1(x)
同理,对于h(x),简写为
h(x)=n*h1(x)
(m,n皆为有理数)
=>
f(x)=h(x)*g(x)
=mn*g1(x)*h1(x)
其中
g1(x)*h1(x)仍然是个本原多项式（“本原相乘亦本原”,反证法可以证明）
现在证明mn为整数：
设mn=a/b(a/b为最简有理式,即,a,b互素)
由于f(x)=a/b*g1(x)*h1(x)为整数系数多项式
=>
b能整除a与[g1(x)*h1(x)]每一项系数的乘积
又a,b互素
=>
b能整除[g1(x)*h1(x)]每一项系数
由于[g1(x)*h1(x)]是个本原多项式（前已说明,易证!）
即[g1(x)*h1(x)]的各项系数互素
即最大公约数为1
=>
b=1
=>
f(x)=a/b*g1(x)*h1(x)
=a*g1(x)*h1(x)
显然将
a乘入到g1或h1后
就可以得到两个整数系数多项式
也即
整数系数多项式g(x),h(x）存在并满足f(x)＝g(x)h(x)
证毕!
（万一还有看不懂的,请再提出来）
