一道函数题定义全集U的子集A的特征函数为fA(x)＝1,x∈A0,x∈CUA,这里CUA表示A在全集U中的补集,那么对于
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一个子集的特征函数就是题目中所写那样,在该子集上取1,余集上取0的函数.
下面的说法只要逐条验证就行了.
(1) 正确.
若x ∈ A,由A ⊆ B,有x ∈ B,于是fA(x) = 1 = fB(x).
若x ∈ CUA,有fA(x) = 0 ≤ fB(x) (fB(x)非0即1).
综合得fA(x) ≤ fB(x)对任意x ∈ U成立.
(2) 正确.
若x ∈ A,则x ∉ CUA,fCUA(x) = 0 = 1-fA(x).
若x ∈ CUA,则x ∉ A,fCUA(x) = 1 = 1-fA(x).
即fCUA(x) = 1-fA(x)对任意x ∈ U成立.
(3) 正确.
若x ∈ A∩B,则x ∈ A且x ∈ B.
fA∩B(x) = 1 = fA(x)·fB(x).
若x ∉ A∩B,则x ∉ A或x ∉ B.
fA∩B(x) = 0 = fA(x)·fB(x).
即fA∩B(x) = fA(x)·fB(x)对任意x ∈ U成立.
(4) 错误.
当x ∈ A∩B,有x ∈ A且x ∈ B.
fA∪B(x) = 1 < 2 = fA(x)+fB(x).
(1)(2)(3)都是特征函数的基本性质.
从中可以看出,特征函数可以将部分集合的运算转换为数的运算.
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