很有意思啊,这样的数列居然无论如何都以9为最小周期……不过我的证明有点“丑陋”,还没想出比较干净的证明.
显然,满足题意的数列a(n)由前两项完全决定,并且如果a1,a2都扩大k倍(k≥0),由递推式确定的新数列每项都是原数列的k倍.因此只要考虑a1=±1以及a1=0,a2=1这三种情形.
对于每种情形,由于a(n)中每一项都由前面两项唯一确定,为了证明a(n)是以9为周期的数列,只要验证a(10)=a(1),a(11)=a(2)即可.下面分情况枚举.
若a1=0,a2=1,数列a(n)前11项：0,1,1,0,-1,1,2,1,-1 ; 0,1.
若a1=1,记a=a2.
情形1：a≥2.此时前11项：1,a,a-1,-1,2-a,a-1,2a-3,a-2,1-a; 1,a.
情形2：1≤a≤2.此时前11项：1,a,a-1,-1,2-a,3-a,1,a-2,1-a; 1,a.
情形3：1/2≤a≤1.此时前11项：1,a,a-1,1-2a,a,3a-1,2a-1,-a,1-a; 1,a.
情形4：0≤a≤1/2.此时前11项：1,a,a-1,1-2a,a,3a-1,2a-1,-a,1-a; 1,a.
情形5：-1≤a≤0.此时前11项：1,a,-a-1,1,2+a,1+a,-1,-a,1-a; 1,a.
情形6：a≤-1.此时前11项：1,a,-a-1,-1-2a,-a,1+a,-1,-a,1-a; 1,a.
a1=1的情形列举完毕.对于a1=-1的情形,也可类似上面分情况枚举.但有个“偷懒”的巧办法:)
以上面的情形1为例,其中a4=-1,a5=2-a∈(-∞,0].由于此时a(n)是周期为9的数列,所以由a1=-1,a2∈(-∞,0]决定的数列也以9为周期.
这样,由上面的情形1,5,6可以证明a1=-1的情况.
综上,合题意的数列a(n)总以9为周期.
