探究学习：探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为面积法

探究学习：探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为面积法．请你运用面积法求解下列问题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高（如图1）．

（1）若等腰△ABC的面积为24 cm2，腰的长为8 cm，则腰AC上的高BD的长为______cm；

（2）若BD=h，M是直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为h1、h2．

①若M在线段BC上，请你结合图2证明：h1+h2=h；

②当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的关系为______．（直接写出结论，不必证明）

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1个回答

解题思路：（1）利用三角形的面积公式可得，腰AC上的高BD=面积÷AC×2；

（2）过M作MG⊥BD，交BD与点G，则可证MF=DG；再证△BME≌△MBG，得BG=ME．即BD=BG+DG=ME+MF；

（3）可采用和（2）类似的方法，画图作辅助线，经过证明三角形全等，得出h1-h2=h．

（1）∵S△ABC=[1/2]AC•BD=[1/2]×8×BD=24，

∴BD=24÷8×2=6；

（2）

①过M作MG⊥BD，交BD与点G，则MF=DG，MG∥CD，

∴∠GMB=∠C，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠GMB=∠ABC，

又∵∠MGB=∠BEM=90°，BM=MB，

∴△BME≌△MBG（AAS），

∴BG=ME．

即BD=BG+DG=ME+MF，

∴h1+h2=h；

②|h1-h2|=h．

点评：

本题考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的面积．

考点点评： 此题综合性较强，考查了三角形的面积、全等三角形的判定等知识点，要熟练掌握并灵活应用这些知识．

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