如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）若MN的延长线交正方形外角平分线CP于点P，当点M在BC边上如图位置时，请你在AB边上找到一点H，使得AH=MC，连接HM，进而判断AM与PM的大小关系，并说明理由；

（3）若BM=1，则梯形ABCN的面积为

[19/2]

[19/2]

；设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（4）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时BM的值．

收藏：
0
点赞数：
0
评论数：
0
1个回答

解题思路：（1）要证三角形ABM和MCN相似，就需找出两组对应相等的角，已知了这两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似．

（2）首先根据题意画出图形，易求得∠AHM=∠MCP=135°，∠2+∠3=∠1+∠2=45°，即可得∠1=∠3，然后利用ASA即可证得△AHM≌△MCP，证得AM=PM．

（3）根据（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例关系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的长表示出CM，然后根据比例关系式求出CN的表达式．这样直角梯形的上下底和高都已得出，可根据梯形的面积公式得出关于y，x的函数关系式．然后可根据函数的性质得出y的最大值即四边形ABCN的面积的最大值，以及此时对应的x的值，也就可得出BM的长．

（4）已知了这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即AM：MN=AB：BM，根据（1）的相似三角形可得出AM：MN=AB：MC，因此BM=MC，M是BC的中点．即BM=2．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠AMB+∠BAM=90°，

又∵AM⊥MN，

∴∠AMN=90°，

∴∠AMB+∠NMC=90°，

∴∠BAM=∠NMC，

∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）AM=PM．

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，

∵AH=MC，

∴BH=BM，

∴∠BMH=∠BHM=45°，

∴∠AHM=135°，

∵AM⊥MN，

∴∠2+∠3+∠BMH=90°，

∴∠2+∠3=45°，

∵∠1+∠2=∠BHM=45°，

∴∠1=∠3，

∵CP是正方形外角平分线，

∴∠PCN=45°，

∴∠PCM=90°+45°=135°，

∴∠AHM=∠MCP，

在△AHM和△MCP中，

∵

∠1＝∠3

AH＝MC

∠AHM＝∠MCP，

∴△AHM≌△MCP（ASA），

∴AM=PM；

（3）∵正方形ABCD边长为4，BM=1，

∴CM=4-1=3，

∵Rt△ABM∽Rt△MCN，

∴[AB/MC＝

BM

CN]，

即[4/3＝

1

CN]，

∴CN=[3/4]，

∴S梯形ABCN=[1/2]（AB+CN）•BC=[1/2]×（4+[3/4]）×4=[19/2]；

∵正方形ABCD边长为4，BM=x，

∴CM=4-x，

∵Rt△ABM∽Rt△MCN，

∴[AB/MC＝

BM

CN]，

即[4/4−x＝

x

CN]，

∴CN=

−x2+4x

4，

∴y=S梯形ABCN=[1/2]（AB+CN）•BC=[1/2]×（4+

−x2+4x

4）×4=-[1/2]x2+2x+8=-[1/2]（x-2）2+10，

∴当x=2时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；

（4）∵∠B=∠AMN=90°，

∴要使Rt△ABM∽Rt△AM

点评：

本题考点： 相似形综合题；二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想、函数思想与方程思想的应用是解此题的关键．

点赞数：
0
评论数：
0
相关问题
关注公众号
一起学习，一起涨知识