如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交于点E．

如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的两点，且AB=AC，AD与BC的延长线交

于点E．

（1）求证：△ABD∽△AEB；

（2）若AD=1，DE=3，求BD的长．

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解题思路：（1）结合已知条件就可以推出∠ABC=∠ADB，再加上公共角就可以推出结论；

（2）由（1）的结论就可以推出AB长度，规矩勾股定理即可推出BD的长度．

（1）证明：∵AB=AC，

∴

AB＝

AC．

∴∠ABC=∠ADB．（2分）

又∠BAE=∠DAB，

∴△ABD∽△AEB．（4分）

（2）∵△ABD∽△AEB，

∴[AB/AE＝

AD

AB]．

∵AD=1，DE=3，

∴AE=4．

∴AB2=AD•AE=1×4=4．

∴AB=2．（6分）

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DAB=90°．

在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=22+12=5，

∴BD=

5．（8分）

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．

考点点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，解题的关键在于找到∠ABC=∠ADB，求证三角形相似．

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