解题思路：（1）直接采用倒序相加法再结合组合数的性质即可证明结论；
（2）先对Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn进行整理，结合第一问的结论求出满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整数n；再根据977=（99-2）7=C70•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27，把问题转化为-C77•27除以99的余数即可；
（3）直接根据（1+[1/n]）n=cn0+Cn1•[1/n]+Cn2•
(
1
n
)
2
+…+Cnn•（[1/n]）n只用前两项即可证明不等式的前半部分；再通过组合数的性质对等式右边进行放缩即可证明右边．
证明：（1）记S=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，
倒序则S=nCnn+（n-1）Cnn-1+…+Cn1（2分）
∴2S=ncn0+nCn1+…+nCnn=n•2n
∴S=n•2n-1…（2分）
（2）Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）Cnn
=（Cn0+Cn1+…Cnn）+（Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn） （1分）
=2n+n•2n-1＜1000
由于7•26+27=576＜1000＜1280=8•27+28，
∴n=7…（2分）
977=（99-2）7=C70•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27
∴97n除以99的余数即为-C77•27除以99的余数70（2分）
证明：（3）∵（1+[1/n]）n=cn0+Cn1•[1/n]+Cn2•(
1
n)2+…+Cnn•（[1/n]）n＞cn0+Cn1•[1/n]=2 （1分）
∵cn0+Cn1•[1/n]+Cn2•(
1
n)2+…+Cnn•（[1/n]）n
=2+
n(n−1)
2!•[1
n2+…+
n(n−1)(n−1)…2×1/n!]•[1
nn
＜2+
1/2!]+…+[1/n!]（2分）
＜2+[1/1×2]+…+[1
(n−1)n
=2+（1-
1/2]）+…+（[1/n−1]-[1/n]）
=3-[1/n]＜3 （2分）
点评：
本题考点： 二项式定理的应用．
考点点评： 本题主要考查二项式定理的应用，属于中等难度题型，在处理有关二项式定理有关系数问题时要熟记结论以及性质．
