已知圆C的方程为x^2+y^2=4,过点M(2,4 - 已解决

已知圆C的方程为x^2+y^2=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T:(x^2

已知圆C的方程为x^2+y^2=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆T:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的右顶点和上顶点.一、求椭圆T的方程二、是否存在斜率为1/2的直线l与曲线C交于P、Q两不同点,使得向量OP*向量OQ=5/2(O为坐标原点),若存在,求出直线L的方程,否则说明理由

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先求切点.设切点Q(x,y),则由于切线垂直于过切点的半径,应用勾股定理：PQ^2+OQ^2=OP^2,即(x-4)^2+(y-2)^2+x^2+y^2=20,化简得：x^2-4x+y^2-2y=0,又Q在圆周上,即x^2+y^2=4,代入方程1并化简得：y=2-2x,代入圆方程并解得：x1=0,x2=8/5.

于是,不妨设A(0,2)、B(8/5,-6/5),又O(0,0).

求圆心：圆心为OA中垂线和OB中垂线的交点.

OA中垂线：显然为y=1.

OB中垂线：

OB中点：M(4/5,-3/5),直线OB斜率：k=-3/4,故OB中垂线斜率k'=-1/k=4/3.

列直线点斜式方程：y+3/5=4/3(x-4/5),化简得：3y+5=4x,与y=1联立方程组得：x=2,y=1

故圆心O'(2,1),由于过原点,故半径平方r^2=O'O^2=5,故方程：(x-2)^2+(y-1)^2=5

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