已知函数f（x）=kx2+（3+k）x+3，其中k为常数，（k∈R）
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（1）由f（2）=4k+（3+k）×2+3=3，解得k=-1，∴f（x）=-x2+2x+3（2分）
①f（x）=-x2+2x+3=-（x-1）2+4（3分）（如果求对称轴也给1分）
∵x∈[-1，4]
所以当x=1时，f（x）取得最大值为f（1）=4（4分）
当x=4时，f（x）取得最小值为f（4）=-5（5分）
②由f（x）＜mx+7对任意x∈R上恒成立，
即x2+（m+2）x+4＞0对任意x∈R上恒成立，（6分）
所以△=（m+2）2-16＜0，解得-2＜m＜6（8分）
（2）当k=0时，f（x）=3x+3，此时f（x）在[-1，4]上是增函数（9分）
当k＞0时，f（x）图象是开口向上，对称轴方程为x＝−
3+k
2k的抛物线，
显然−
3+k
2k＜0（10分）
①当−
3+k
2k≤−1时，即0＜k≤3时，函数f（x）在[-1，4]上是增函数（11分）
②当−
3+k
2k＞−1时，即k＞3时，函数f（x）在[−1，−
3+k
2k]上是减函数，在(−
3+k
2k，4]上是增函数 （13分）
综上，当k≥0时，函数f（x）在[-1，4]上是增函数；当k＞3时，函数f（x）在[−1，−
3+k
2k]上是减函数，在(−
3+k
2k，4]上是增函数（14分）
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