第一章 行列式
1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1) ;
解
=2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8
-0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1)
=-24+8+16-4=-4.
(2)
解
=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc
=3abc-a3-b3-c3.
(3) ;
解
=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2
(a-b)(b-c)(c-a).
(4) .
解
=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3
=3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3
=-2(x3+y3).
2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4;
解 逆序数为0
(2)4 1 3 2;
解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.
(3)3 4 2 1;
解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n);
解 逆序数为 :
3 2 (1个)
5 2, 5 4(2个)
7 2, 7 4, 7 6(3个)
× × × × × ×
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
(6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2.
解 逆序数为n(n-1) :
3 2(1个)
5 2, 5 4 (2个)
× × × × × ×
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1个)
4 2(1个)
6 2, 6 4(2个)
× × × × × ×
(2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1个)
3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.
解 含因子a11a23的项的一般形式为
(1)ta11a23a3ra4s,
其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42
所以含因子a11a23的项分别是
(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44
(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42
4. 计算下列各行列式:
(1) ;
解
.
(2) ;
解
.
(3) ;
解
(4) .
解
abcd+ab+cd+ad+1.
5. 证明:
(1) =(a-b)3;
证明
=(a-b)3 .
(2) ;
证明
.
(3) ;
证明
(c4-c3, c3-c2, c2-c1得)
(c4-c3, c3-c2得)
.
(4)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);
证明
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).
(5) =xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .
证明 用数学归纳法证明
当n=2时, , 命题成立.
假设对于(n-1)阶行列式命题成立, 即
Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1,
则Dn按第一列展开 有
=xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .
因此, 对于n阶行列式命题成立.
6. 设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得
, , ,
证明 , D3=D .
证明 因为D=det(aij), 所以
同理可证
.
.
7. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):
(1) , 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0;
解
(按第n行展开)
=an-an-2=an-2(a2-1).
(2) ;
解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
再将各列都加到第一列上, 得
=[x+(n-1)a](x-a)n-1.
(3) ;
解 根据第6题结果 有
此行列式为范德蒙德行列式
.
(4) ;
解
(按第1行展开)
再按最后一行展开得递推公式
D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2
于是 .
而
所以
(5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|;
解 aij=|i-j|,
(-1)n-1(n-1)2n-2.
(6) , 其中a1a2 × × × an¹0.
解
8. 用克莱姆法则解下列方程组:
(1)
解 因为
所以 , , , .
(2)
解 因为
所以
, , , , .
9. 问l, m取何值时, 齐次线性方程组 有非零解?
解 系数行列式为
令D=0, 得
m=0或l=1
于是 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.
10. 问l取何值时, 齐次线性方程组 有非零解?
解 系数行列式为
=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)
=(1-l)3+2(1-l)2+l-3.
令D=0, 得
l=0, l=2或l=3.
于是 当l=0, l=2或l=3时, 该齐次线性方程组有非零解.
