若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有一个整数是素数，求n的最大值．
1个回答
解题思路：只有1和它本身两个因数的数，就是质数（或素数）．除了1和它本身以外，还有别的因数的数，就是合数．因为5个整数两两互素，它们的约数只能取2、3、5、7、11，又因为是合数，只能是约数的平方．所以可求解．
若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，
∴n≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数，
若都不是素数，则其中至少有四个数是合数，不妨假设，为合数，
设其中最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4
由于两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同
设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7
因为为合数，
所以其中一定存在一个
aj≥p2≥72=49，与n≤48矛盾，
于是其中一定有一个是素数
综上所述，正整数n的最大值为48．
点评：
本题考点： 抽屉原理；质数与合数．
考点点评： 本题考查质数和和合数的概念，以及两两互素的数有哪些．
相关问题
