已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为 - 已解决

已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱垂直底边ABCD四棱柱，AA1=2，E是侧棱AA1的中

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为1的正方形，侧棱垂直底边ABCD四棱柱，AA₁=2，E是侧棱AA₁的中点，求

（1）求异面直线BD与B₁E所成角的大小；

（2）求四面体AB₁D₁C的体积．

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解题思路：（1）连接B₁D₁、D₁E，可得平行四边形BB₁D₁D中，B₁D₁∥BD，所以∠EB₁D₁或其补角就是异面直线BD与B₁E所成角．再由已知条件算出△B₁D₁E是等边三角形同，从而可得异面直线BD与B₁E所成角的大小为60°；

（2）算出正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁位于B、A₁、C₁、D四个角上的全等的三棱锥的体积，再用正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积减去这四个三棱锥体积，即可得到四面体AB₁D₁C的体积．

（1）连接B₁D₁、D₁E，

∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B∥D₁D且B₁B=D₁D

∴四边形BB₁D₁D是平等四边形

因此B₁D₁∥BD，可得∠EB₁D₁或其补角就是异面直线BD与B₁E所成角

∵AA₁=2AB=2，∴B₁D₁=ED₁=B₁E=

2，得△B₁D₁E是等边三角形，∠EB₁D₁=60°

由此可得，异面直线BD与B₁E所成角的大小为60°；

（2）根据题意，得V正四棱柱ABCD−A1B1C1D1=S_{正方形ABCD}×AA₁=2

∵V三棱锥B−ACB1=V三棱锥 A1−AB1D1=V三棱锥 C1−CB1D1=V三棱锥 D −AC D1=[1/3]×[1/2]×1×1×2=[1/3]

∴四面体AB₁D₁C的体积为

V=V正四棱柱ABCD−A1B1C1D1-（V三棱锥 B −AC B1+V三棱锥 A1−AB1D1

+V三棱锥 C1−CB1D1+V三棱锥 D −AC D1）=2-

点评：

本题考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题在正四棱柱中求异面直线所成角，并求四面体的体积，着重考查了正棱柱的性质、异面直线所成角和体积的求法等知识，属于基础题．

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