(2007•武汉模拟)科学家正在研究架设一条长度约为10万公里的从地面到太空的“太空梯”,由缆绳、海面基地、太空站和升降机组成.缆绳用质量轻、强度大、韧度高的“碳纳米管”制成,缆绳一端固定在位于赤道某处的海面基地上,另一端固定在位于太空的巨大太空战上.除升降机外,整个装置相对于地面保持静止,且绷直的缆绳始终垂直于海平面指向地心.升降机上装有两套履带装置,从两侧紧扣缆绳,这样升降机就可以沿缆绳上下运动,或者在摩擦力作用下牢牢固定在缆绳上任意位置,如图所示.
设想在太空中距离地面某一高度,升降机与缆绳之间的相互作用力恰好为零,且相对于缆绳保持静止状态,求此时升降机距离地面的高度.已知地球半径R,地球表面重力加速度g,地球自转角速度ω.
解题思路:缆绳跟地球具有相同的角速度,通过万有引力提供向心力来求解,从而知道管道的长度.
设地球质量为M,万有引力常量为G,则质量为m0的物体在地面受到的重力与万有引力大小近似相等
m0g=G
Mm0
R2①
设在距地面h高处,质量为m的升降机与缆绳之间相互作用力恰好为零,此时由万有引力提供升降机绕地球做匀速圆周运动的向心力,
由牛顿第二定律:
G
Mm
(R+h)2=mω2(R+h)②
由①②得:h=(
gR2
ω2)
1
3−R
答:此时升降机距离地面的高度(
gR2
ω 2)
1
3−R.
点评:
本题考点: 万有引力定律及其应用;牛顿第二定律.
考点点评: 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和和万有引力等于重力.
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