高中数学正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为根号2a.求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
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：①如图,以点A为坐标原点O,以AB所成直线为Oy轴,

以AA1所在直线为Oz轴,以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴,建立空间直角坐标系．

由已知得A（0,0,0）,B（0,a,0）,A1(0,0,2a),C1(-32a,a2,2a)．

②坐标系如上,取A1B1的中点M,于是有 M(0,a2,2a),

连AM,MC1有 MC1→= (-32a,0,0),

且 AB→=（0,a,0）,AA1→= (0,0,2a),

由 MC1→• AB→=0,MC1→• AA1→=0,

所以,MC1⊥面ABB1A1,

∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角．

∵ AC1→= (-32a,a2,2a),AM→= (0,a2,2a),

∴ AC1→• AM→= 0+a24+2a2=94a2,|AC1→|= 3a24+a24+2a2= 3a,|AM→|= a24+2a2=32a,

∴ cos＜AC1→,AM→＞= 94a23a•32a=32,

所以,AC1→与 AM→所成的角,即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．

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