已知及是实数集，e是自然对数的底数，函数f（x）= - 已解决

已知及是实数集，e是自然对数的底数，函数f（x）=1+In(x+1)x的定义域为{x|x＞0，x∈R}

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解题思路：（I）看出要解的不等式右边可以写成f（e-1），问题转化为抽象函数的不等式的问题，对函数求导判断函数的单调性，根据函数的单调性写出解题的不等式，得到解集．

（II）利用特值看出要求的最大值是3，后面要证明当取3时，式子恒成立，利用导数求出函数的单调区间，看出函数在当x=e-1时，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e，得到结论．

（I）∵f（e-1）=[2/e−1]

∴不等式f（x²+1）＞

e−1可以化为f（x²+1）＞f（e-1）

∴f′(x)＝

x2[

x+1−1−ln(x+1)]=−

x2[

x+1+ln(x+1)]

∴当x＞0时，f^′（x）＜0，

∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，

∵f（x²+1）＞f（e-1），

∴x²+1＜e-1，

∴−

e−2＜x＜

e−2，

∴不等式的解集是{x|−

e−2＜x＜

e−2}

（II）∵当x＞0时，f（x）＞[k/x+1]恒成立，

令x=1，得k＜2（1+ln2）

∵k是整数，

∴k=3．

下面证明当k=3，x＞0时，f（x）＞

x+1恒成立，

即当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，

令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x

则g^′（x）=ln（x+1）-1

当x＞e-1时，g^′（x）＞0，

当0＜x＜e-1时，g^′（x）＜0

∴当x=e-1时，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0

∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，

∴正整数k的最大值是3．

点评：

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查函数的综合问题，涉及到的知识点比较全面，是可以作为压轴题目的一个解答题，特别的题目应用到函数的恒成立问题，这是每一年必考的知识点．