利用函数的单调性定义证明函f(x)＝xx−1，x∈[2，4]是单调递减函数，并求函数的值域．
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解题思路：根据单调性的定义可知在[2，4]上任x1，x2．x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小，从而可证得单调性，从而可求出函数的值域．

证明：在[2，4]上任x1，x2．x1＜x2，f（x1）=

x1

x1−1，f（x2）=

x2

x2−1

∴f(x1)−f(x2)＝

x1

x1−1−

x2

x2−1=

x2−x1

(x1−1)(x2−1)

∵2≤x1＜x2≤4，∴x2-x1＞0，x1-1＞0，x2-1＞0

∴f（x1）-f（x2）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是在[2，4]上的减函数

当x=2时函数取最大值2，当x=4时函数取最小值[4/3]

因此，函数的值域[

4

3，2]．

点评：

本题考点： 函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及利用函数单调性求函数值域，属于基础题．

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