（1）f'（x）=-lnx，g（x）=x-xlnx+xlna，g'（x）=f'（x）-f'（a）=-lnx+lna=ln[a/x]．
所以，x∈（0，a）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（a，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．
所以，g（x）的单调递增区间为（0，a]，单调递减区间为[a，+∞）．
（2）证明：∵f′（x）=-lnx，
∴f′（x）在（0，+∞）上是一个减函数，
对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，
由拉格朗日中值定理，可知，存在b∈（x1，x2），使得
f(x2)?f(x1)
x2?x1＝f′(b)，
∴x1＜b＜x2，又f′（x）在（0，+∞）上是一个减函数，
∴f′（x2）＜f′（b）＜f′（x1），
∴f′（x2）＜
f(x2)?f(x1)
x2?x1＜f′（x1），
∴（x2-x1）f′（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f′（x1）．
（3）证明：对k=1，2，…，n-2，令φ（x）=
ln(x+k)
lnx(x＞1)，则φ′（x）=
xlnx?(x+k)ln(x+k)
x(x+k)(lnx)2，
显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），所以xlnx＜（x+k）ln（x+k），所以φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．
由n-k≥2，得φ（n-k）≤φ（2），即[lnn
ln(n?k)≤
ln(2+k)/ln2]．
所以ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），k=1，2，…，n-2．
所以2(
1
ln2+
1
ln3+…+
1
lnn)=[lnn+ln2/ln2lnn+
ln(n?1)+ln3
ln3ln(n?1)+…+
ln2+lnn
lnnln2]
≤[lnn+ln2/ln2lnn+
ln(n?1)+ln3
ln2ln(n?1)+…+
ln2+lnn
lnnln2]=2[ln2+ln3+…+lnn/ln2lnn]
又由（2）知f（n+1）-f（n）＜f′（n）=-lnn，所以lnn＜f（n）-f（n+1）．
∴ln1+ln2+…+lnn＜f（1）-f（2）+f（2）-f（3）+…+f（n）-f（n+1）=f（1）-f（n+1）=1-f（n+1）．
所以，[1/ln2+
1
ln3+…+
1
lnn＜
1?f(n+1)
ln2?lnn]．
