函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的常数，当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），

函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的常数，当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），

（1）若函数y=f（x），x∈R是周期函数，写出符合条件a的值；

（2）求n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，求y=f（x）的表达式y=f n（x）；

（3）若函数y=f（x）在[0，+∞）上的值域是闭区间，求a的取值范围．

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1个回答

（1）∵f（x+1）=af（x），函数y=f（x），x∈R是周期函数

∴a=±1

当a=1时，f（x+1）=f（x），则T=1（3分）

当a=-1时，f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=f（x），则T=2（6分）

（2）n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时

f n（x）=af n-1（x-1）=a 2f n-1（x-2）=…=a nf 1（x-n）（9分）

∴f n（x）=a n（x-n）（n+1-x）（9分）

（3）∵f n（x）=a n（x-n）（n+1-x），

∴ -

1

4 |a | n ≤ f n (x)≤

1

4 |a | n （14分）

当|a|＞1时f（x）∈（-∞，+∞）舍去

当a=1时 f(x)∈[0，

1

4 ] 符合

当a=-1时 f(x)∈[-

1

4 ，

1

4 ] 符合

当0＜a＜1时 f(x)∈[0，

1

4 ] 符合

当-1＜a＜0时 f(x)∈[0，

1

4 ] 符合

∴a∈[-1，0）∪（0，1]（18分）

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