解题思路：（I）当n≥2时，由已知利用递推公式可得[1
S
n
＝
1
a
n
−
1
a
n+1
=
1
S
n
−
S
n−1
−
1
S
n+1
−
S
n
整理可得，Sn2=Sn-1Sn+1（n≥2），从而可证
（II）由（I）知，数列SnSn=4n-1进而可得当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3×4n-2，且a1=S1=1
代入可求，
b
n
＝
9
a
n
(
a
n
+3)(
a
n+1
+3)
=
9×3×
4
n−2
(3×
4
n−2
+3)(3×
4
n−1
+3)
=
1
4
n−2
+1
−
1
4
n−1
+1
又
b
1
＝
9
a
1
(
a
1
+3)(
a
2
+3)
＝
3/8]容易求得Tn=b1+b2+…+bn=[7/8
−
1
4
n−1
+1]，代入所求的式子整理可求 n，λ
（I）当n≥2时，[1
Sn＝
1
an−
1
an+1=
1
Sn−Sn−1−
1
Sn+1−Sn
整理可得，Sn2=Sn-1Sn+1（n≥2）
由S1=1≠0，S2=4≠0可知对一切正整数n都有Sn≠0
数列Sn是等比数列
（II）由（I）知数列Sn是首项为1，公比为4的等比数列，Sn=4n-1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3×4n-2，且a1=S1=1
故当n≥2时，bn＝
9an
(an+3)(an+1+3)=
9×3×4n−2
(3×4n−2+3)(3×4n−1+3)=
1
4n−2+1−
1
4n−1+1
又b1＝
9a1
(a1+3)(a2+3)＝
3/8]
当n≥2时，Tn=b1+b2+…+bn=[3/8]+(
1
40+1−
1
41+1)+…+ (
1
4n−2+1−
1
4n−1+1)
=[7/8−
1
4n−1+1]
若n=1，代入可得λ＝
5
2不是整数，故舍去
若n≥2时，Tn+
3λ
5an+1＝
点评：
本题考点： 等比关系的确定；等差数列与等比数列的综合．
考点点评： 本题主要考查了等比数列的证明，利用递推公式求解数列的通项公式及数列的求和，属于综合试题．
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