如图为人体血液循环过程模式图,请据图回答下列问题:
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解题思路:(I)当n≥2时,由已知利用递推公式可得[1

S

n

1

a

n

1

a

n+1

=

1

S

n

S

n−1

1

S

n+1

S

n

整理可得,Sn2=Sn-1Sn+1(n≥2),从而可证

(II)由(I)知,数列SnSn=4n-1进而可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×4n-2,且a1=S1=1

代入可求,

b

n

9

a

n

(

a

n

+3)(

a

n+1

+3)

=

9×3×

4

n−2

(3×

4

n−2

+3)(3×

4

n−1

+3)

=

1

4

n−2

+1

1

4

n−1

+1

b

1

9

a

1

(

a

1

+3)(

a

2

+3)

3/8]容易求得Tn=b1+b2+…+bn=[7/8

1

4

n−1

+1],代入所求的式子整理可求 n,λ

(I)当n≥2时,[1

Sn=

1

an−

1

an+1=

1

Sn−Sn−1−

1

Sn+1−Sn

整理可得,Sn2=Sn-1Sn+1(n≥2)

由S1=1≠0,S2=4≠0可知对一切正整数n都有Sn≠0

数列Sn是等比数列

(II)由(I)知数列Sn是首项为1,公比为4的等比数列,Sn=4n-1

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×4n-2,且a1=S1=1

故当n≥2时,bn=

9an

(an+3)(an+1+3)=

9×3×4n−2

(3×4n−2+3)(3×4n−1+3)=

1

4n−2+1−

1

4n−1+1

又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)=

3/8]

当n≥2时,Tn=b1+b2+…+bn=[3/8]+(

1

40+1−

1

41+1)+…+ (

1

4n−2+1−

1

4n−1+1)

=[7/8−

1

4n−1+1]

若n=1,代入可得λ=

5

2不是整数,故舍去

若n≥2时,Tn+

5an+1=

点评:

本题考点: 等比关系的确定;等差数列与等比数列的综合.

考点点评: 本题主要考查了等比数列的证明,利用递推公式求解数列的通项公式及数列的求和,属于综合试题.

1年前

1

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