解题思路:(I)当n≥2时,由已知利用递推公式可得[1
S
n
=
1
a
n
−
1
a
n+1
=
1
S
n
−
S
n−1
−
1
S
n+1
−
S
n
整理可得,Sn2=Sn-1Sn+1(n≥2),从而可证
(II)由(I)知,数列SnSn=4n-1进而可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×4n-2,且a1=S1=1
代入可求,
b
n
=
9
a
n
(
a
n
+3)(
a
n+1
+3)
=
9×3×
4
n−2
(3×
4
n−2
+3)(3×
4
n−1
+3)
=
1
4
n−2
+1
−
1
4
n−1
+1
又
b
1
=
9
a
1
(
a
1
+3)(
a
2
+3)
=
3/8]容易求得Tn=b1+b2+…+bn=[7/8
−
1
4
n−1
+1],代入所求的式子整理可求 n,λ
(I)当n≥2时,[1
Sn=
1
an−
1
an+1=
1
Sn−Sn−1−
1
Sn+1−Sn
整理可得,Sn2=Sn-1Sn+1(n≥2)
由S1=1≠0,S2=4≠0可知对一切正整数n都有Sn≠0
数列Sn是等比数列
(II)由(I)知数列Sn是首项为1,公比为4的等比数列,Sn=4n-1
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×4n-2,且a1=S1=1
故当n≥2时,bn=
9an
(an+3)(an+1+3)=
9×3×4n−2
(3×4n−2+3)(3×4n−1+3)=
1
4n−2+1−
1
4n−1+1
又b1=
9a1
(a1+3)(a2+3)=
3/8]
当n≥2时,Tn=b1+b2+…+bn=[3/8]+(
1
40+1−
1
41+1)+…+ (
1
4n−2+1−
1
4n−1+1)
=[7/8−
1
4n−1+1]
若n=1,代入可得λ=
5
2不是整数,故舍去
若n≥2时,Tn+
3λ
5an+1=
点评:
本题考点: 等比关系的确定;等差数列与等比数列的综合.
考点点评: 本题主要考查了等比数列的证明,利用递推公式求解数列的通项公式及数列的求和,属于综合试题.
1年前
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