已知线段AB是椭圆X²/2+Y²=1的动弦,O为坐标原点,求△AOB的面积S取值范围.
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应该有更好的办法,但是我还没想到 下面的计算稍显繁杂

设直线方程为y=kx+b与椭圆方程联立X²/2+Y²=1及AB弦长=2得到关系式

b²=(2k²+1)/2(k²+1)

O点到直线AB的距离d=|b|/√(k²+1)

S=AB*d/2=|b|/√(k²+1)

S²=b²/(k²+1)

∴S²=b²/(k²+1)=(2k²+1)/2(k²+1)²)=[2(k²+1)-1]/2(k²+1)²

令S²=t t≥0 k²+1=x x≥1

2tx²-2x+1=0

△=4-8t≥0

t≤1/2

S≤√2/2

此时x=1 k=0 即直线与x轴平行时,截距与高相等时候面积最大.

容易想到,当ABY与y轴平行时,面积最小,OAB成为一条直线,K此时为无穷大

S=0

综上S的取值范围

0≤S≤√2/2

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