已知定义在实数R上的函数y=f（x）不恒为零，同时满足f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1，那么当

已知定义在实数R上的函数y=f（x）不恒为零，同时满足f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1，那么当x＜0时，一定有（　　）

A. f（x）＜-1

B. -1＜f（x）＜0

C. f（x）＞1

D. 0＜f（x）＜1

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2个回答

解题思路：根据f（x+y）=f（x）•f（y）恒成立，考虑取x=0代入，可得f（0）=1，再取x=-y，可得f（-y）=

1

f(y)

，再结合条件

x＞0时，有0＜f（x）＜1，经过变形化简可得x＜0时，0＜f（x）＜1成立．

对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），

可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）

因为当x＞0时，f（x）＞1，故f（1）＞1＞0

所以 f（0）=1

再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1

所以f（-y）=

1

f(y)，同理得f（-x）=

1

f(x)，

当x＜0时，-x＞0，根据已知条件得f（-x）＞1，即

1

f(x)＞1

变形得0＜f（x）＜1；

故选D．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要考查抽象函数的函数值和取值范围的求解，属于中档题．解决问题的关键是赋值和构造，注意构造的技巧在解决本题中的应用．

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