已知棱柱ABCD-A′B′C′D′，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=60°，对角线AC、BD交于点O，A′O⊥平
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解题思路：（I）分别以OA，OB，OA′为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面AA′C′C的一个法向量和平面BB′D′D的法向量，根据两个平面的法向量垂直得到不论侧棱AA′的长度为何值，总有平面AA′C′C⊥平面BB′D′D；
（Ⅱ）求出平面CDD′C′的法向量，结合二面角B-DD′-C为45°，求出h与a的关系，进而利用勾股定理可得侧棱AA′的长度．
证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又A′O⊥平面ABCD，
∴A′O⊥BD，A′O⊥AC，
分别以OA，OB，OA′为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
∵底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=60°，
∴A（
3a
2，0，0），B（0，[a/2]，0）．D（0，-[a/2]，0），
设OA′=h，则A′（0，0，h）．
显然，平面AA′C′C的一个法向量为
m=（0，1，0），
设平面BB′D′D的法向量为
n=（x，y，z），
由
DB=（0，a，0），
BB′=
AA′=（-
3a
2，0，h），
点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．
考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角，平面与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，将面面垂直问题和二面角问题，转化为向量垂直和向量夹角问题是解答的关键．
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