若a1,a2∈R,且a1+a2=1,则1/a1+1/a2≥4,试猜想：若a1a2…an∈R,且a1+a2+…+an=1.
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首先前提应为a1, a2,..., an ∈ R+, 否则1/a1+1/a2+...+1/an没有下界.
在此前提下, 满足条件a1+a2+...+an = 1时, 有1/a1+1/a2+...+1/an ≥ n².
用Cauchy不等式证明最方便:
1/a1+1/a2+...+1/an
= (a1+a2+...+an)(1/a1+1/a2+...+1/an)
≥ (1+1+...+1)²
= n².
易见a1 = a2 = ... = an = 1/n时等号成立.
也可以用均值不等式.
1/a1+n²a1 ≥ 2n, 1/a2+n²a2 ≥ 2n, ..., 1/an+n²an ≥ 2n.
相加得1/a1+1/a2+...+1/an+n²(a1+a2+...+an) ≥ 2n².
即1/a1+1/a2+...+1/an ≥ n².
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