设函数f（x）=（1+x） 2 -2ln（1+x）．
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（Ⅰ）函数的定义域为（-1，+∞）．（1分）
∵ f / (x)=2[(x+1)-
1
x+1 ]=
2x(x+2)
x+1 ，
由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0．（3分）
∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（-1，0）．（4分）
（Ⅱ）∵由 f / (x)=
2x(x+2)
x+1 =0 ，得x=0，x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f（x）在 [
1
e -1，0] 上递减，在[0，e-1]上递增．
高三数学（理科）答案第3页（共6页）
又 f(
1
e -1)=
1
e 2 +2 ，f（e-1）=e 2-2，且 e 2 -2＞
1
e 2 +2 ．
∴当 x∈[
1
e -1，e-1] 时，f（x）的最大值为e 2-2．
故当m＞e 2-2时，不等式f（x）＜m恒成立．（9分）
（Ⅲ）方程f（x）=x 2+x+a，x-a+1-2ln（1+x）=0．
记g（x）=x-a+1-2ln（1+x），
∵ g / (x)=1-
2
1+x =
x-1
x+1 ，
由g′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）．由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．
为使方程f（x）=x 2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，
只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，于是有
g(0)≥0
g(1)＜0
g(2)≥0.
∵2-2ln2＜3-2ln3，
∴实数a的取值范围是2-2ln2＜a≤3-2ln3．（14分）
