求极限 lim n[ e^2- (1+1/n)^2n] n->无穷
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换元,令x=1/n,则n-->∞时,x-->0

极限化为：lim[x-->0] (e²-(1+x)^(2/x)]/x 0/0型,洛必达法则

我们先来计算一下e²-(1+x)^(2/x)的导数

[e²-(1+x)^(2/x)]'=-[(1+x)^(2/x)]'

=-[e^( (2/x)ln(1+x) )]'

=-[e^( 2ln(1+x) /x)]'

=e^( 2ln(1+x) /x)*(2ln(1+x) /x)'

=e^( 2ln(1+x) /x)*( (2x/(1+x)-2ln(1+x) ) /x²)

=e^( 2ln(1+x) /x)*( (2x-2(1+x)ln(1+x) ) /x²(1+x))

原极限洛必达法则后=lim e^( 2ln(1+x) /x)*( (2x-2(1+x)ln(1+x) ) /x²(1+x) ) / 1

=e²lim(2x-2(1+x)ln(1+x) ) /x²(1+x)

=e²lim1/(1+x)*lim(2x-2(1+x)ln(1+x) ) /x²

洛必达

=e²lim(2-2ln(1+x)-2 ) /(2x)

=e²lim -ln(1+x) /x

=-e²

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