常系线性递推数列特征方程中出现复根怎么求通项
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把所有数当做复数来考虑,举个例子：
求A[1]=-1,A[2]=2,A[n+1]+A[n]+A[n-1]=0 的通项公式
特征方程为X^2+X+1=0
得到两特征根 X[1]=cos(2pi/3)+isin(2pi/3) X[2]=cos(-2pi/3)+isin(-2pi/3)
于是引入两个系数C[1],C[2] 来表示A[n]
A[n]=C[1]X[1]^n+C[2]X[2]^n 代入初始条件得到复数方程组
(C[1]+C[2])cos(2pi/3)+(C[1]-C[2])isin(2pi/3)=-1
(C[1]+C[2])cos(2pi/3)-(C[1]-C[2])isin(2pi/3)=2
解得 C[1]=cos(2pi/3)+isin(2pi/3)
C[2]=cos(-2pi/3)+isin(-2pi/3)
综上 A[n-1]=X[1]^n+X[2]^n
=cos(2npi/3)+isin(2npi/3)+cos(2npi/3)-isin(2npi/3)
=2cos(2npi/3)
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