解题思路：（1）求导函数，确定导函数的零点，从而可求H（x）的最小值，证明最小值小于0，可得H（x）有两个零点；（2）①由f（an）=g（an+1），可得an+1=1e−1（ean-1），用数学归纳法证明an∈（0，1）；②作差（e-1）an+1-an=ean-1-an，考虑函数p（x）=ex-1-x（0＜x＜1），证明p（x）在（0，1）上是增函数，即可得到结论．
（1）函数f（x）=ex+1，g（x）=（e-1）x+2，∴H（x）=f（x）-g（x）=ex-（e-1）x-1
∴H′（x）=ex-（e-1），
令H′（x）=0，则x0=ln（e-1）
当x∈（-∞，x0）时，H′（x）＜0，H（x）在（-∞，x0）单调递减
当x∈（x0，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）在（x0，+∞）单调递增
故H（x）min=H（x0）=ex0-（e-1）x0-1=e-1-（e-1）ln（e-1）-1
令t=e-1＞1，函数h（t）=t-tlnt-1，
因为h′（t）=-lnt＜0，所以函数h（t）=t-tlnt-1在（1，+∞）单调递减，故h（t）≤h（1）=0，
又e-1＞1，故H（x0）＜0，从而H（x）有两个零点；
（2）①证明：因为f（an）=g（an+1），即ean+1=（e-1）an+1+2，所以an+1=[1/e−1]（ean-1）
下面用数学归纳法证明an∈（0，1）
1°当n=1时，a1∈（0，1）成立；
2°假设当n=k时，ak∈（0，1），则ak+1=[1/e−1]（eak-1）
∵ak∈（0，1），∴1＜eak＜e，∴0＜eak-1＜e-1
∴0＜ak+1＜1
综上知，an∈（0，1）；
②∵（e-1）an+1-an=ean-1-an，
考虑函数p（x）=ex-1-x（0＜x＜1）
∵p′（x）=ex-1＞0，
∴p（x）在（0，1）上是增函数
故p（x）＞p（0）=0
∴（e-1）an+1-an＞0
∴（e-1）an+1＞an．
点评：
本题考点： 数学归纳法；函数的零点．
考点点评： 本题考查函数的零点，考查函数的单调性，考查数学归纳法的运用，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
