已知x,y,z∈R,x^2+y^2+z^2=1,则x+2y+2z的最大值为?
1个回答
答案：x+2y+2z最大值3
【因为不知道您的年纪,所以也不太清楚解此题用什么方法,请见谅】
1）如果您是初中生,可用二次函数的知识解答.
设x+2y+2z=k,则x=k-2y-2z代入x²+y²+z²=1
得 (k-2y-2z)²+y²+z²=1
(k²+4y²+4z²-4ky-4kz+8yz)+y²+z²=1
把y当成主元
得 5y²-4ky+8zy+5z²-4kz+k²-1=0
即 5y²-(4k-8z)y+5z²-4kz+k²-1=0
因为 y是实数,即此方程有实数根
△=(4k-8z)²-4×5×(5z²-4kz+k²-1)≥0
4(k-2z)²-5(5z²-4kz+k²-1)≥0
4k²-16kz+16z²-25z²+20kz-5k²+5≥0
-9z²+4kz-k²+5≥0
设f(z)= -9z²+4kz-k²+5
则开口向下的的抛物线f（z）的顶点必在x轴上方或在x轴上
即 顶点的纵坐标 大于等于0
即【4×(-9)×(-k²+5)-(4k)²】/[4×(-9)]≥0
【二次函数y=ax²+bx+c的顶点（-b/2a,[4ac-b²]/4a）】
20k²-180≤0
k²≤9
-3≤k≤3
所以x+2y+2z最大值3
2）如果您是高中生,用柯西不等式很方便
三元柯西不等式：(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≤(ax+by+cz)²（且仅当a/x=b/y=c/z时取等号）
所以 (1²+2²+2²)(x²+y²+z²)≤(1×x+2×y+2×z)²
即 9×1≤(x+2y+2z)²
-3≤x+2y+2z≤3
所以x+2y+2z最大值3
【已知几个量平方的和（系数不为1也行）,利用柯西不等式能求出 任意一个 这些量的线性组合的范围】
【数学爱好者竭诚为你解答】
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