解题思路：（Ⅰ）将k=1代入函数f（x），求出导函数f′（x）=0的根，确定出函数的极小值即最小值；
（Ⅱ）对k分类讨论，研究函数f（x）的单调性，利用单调性求出函数的最小值，将f（x）≥1恒成立等价转化为f（x）min≥1，即[2/k−
2
k
ln
2
k]≥1，构造函数g（x）=x-xlnx（x＞0），利用导数确定出g（x）的最值，从而判定[2/k
＝1，即可求出k的值；
（Ⅲ）解法1：引入中间量f′（x2），先证
f(
x
2
)−f(
x
1
)
x
2
−
x
1
]＜f′（x2），运用分析法分析出只要证
e
k(
x
1
−
x
2
)
-k（x1-x2）-1＞0即可，通过构造函数h（x）=ex-x-1＞0在（-∞，0）上恒成立，即可证得
e
k(
x
1
−
x
2
)
-k（x1-x2）-1＞0，从而证得
f(
x
2
)−f(
x
1
)
x
2
−
x
1
＜f′（x2），同理可证f′（x2）＜
f(
x
3
)−f(
x
2
)
x
3
−
x
2
，即可证得结论；
解法2：令f′（x0）=
k
e
k
x
0
-2=
f(
x
2
)−f(
x
1
)
x
2
−
x
1
，得x0=[1/k]ln（[2/k]+
f(
x
2
)−f(
x
1
)
k(
x
2
−
x
1
)
），然后利用导数证明x1＜x0＜x2，从而证得结论．
（I）∵f（x）=ex-2x，
∴f′（x）=ex-2，
令f′（x）=0，得x=lnx，
∴当x＜ln2，f′（x）＜0，可得f（x）在（-∞，ln2）单调递减，当x＞ln2，f′（x）＞0，可得f（x）在（ln2，+∞）单调递增，
∴f（x）的最小值为f（ln2）=2-2ln2．
（II）∵f′（x）=kekx-2，
①若k＜0时，f′（x）恒小于零，则f（x）在R上单调递减；
∵当x＞0时，f（x）＜f（0）=1，
∴不符合f（x）≥1恒成立．
②若k＞0时，令f′（x）=0，得x＝
1
kln
2
k，
当x＜[1/kln
2
k]时，f′（x）＜0，可知f（x）在(−∞，
1
kln
2
k)单调递减，当x＞[1/kln
2
k]时，f′（x）＞0，可知f（x）在(
1
kln
2
k，+∞)单调递增，
∴f（x）的最小值为f(
1
kln
2
k)=[2/k−
2
kln
2
k]，
∵f（x）≥1恒成立，即f（x）min≥1，
∴[2/k−
2
kln
2
k]≥1，
构造函数g（x）=x-xlnx（x＞0），则有g(
2
k)≥1，
∵g′（x）=1-lnx-1=-lnx，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=1，当且仅当x=1时取得最大值，结合g(
2
k)≥1，
∴[2/k＝1，
∴k=2．
（ III）解法1：
由已知可知，f′（x2）=kekx2-2≥0，则k＞0，
先证
f(x2)−f(x1)
x2−x1]＜f′（x2），
∵x2-x1＞0，
要证
f(x2)−f(x1)
x2−x1＜f′（x2），
只要证f(x2)−f(x1)＜(x2−x1)(kekx2−2)，即证
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查了导数在最大值和最小值中的应用，考查了利用导数研究函数的单调性以及用导数解决方程根的分布的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度．属于难题．
1年前
8
回答问题，请先
登录
·
注册
可能相似的问题
已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1，+∞)．
1年前
1个回答
已知函数f(x)＝2x+alnx−2(a＞0)．
1年前
1个回答
已知函数 f(x)=cos(2x+ π 3 )+si n 2 x ．
1年前
1个回答
（2014•凉州区二模）已知函数f(x)＝2x+alnx−2(a＞0)．
1年前
1个回答
（2013•乐山一模）已知函数f(x)＝2x−log21+mx1−x是奇函数．
1年前
1个回答
已知函数f(x)=x2+2x+a/x,x∈[1,+∞）．
1年前
1个回答
已知函数f(x)=2asin^2x+2sinxcosx-a,（a为常数）在x=3π/8取到最大值,求实数a
1年前
1个回答
急.(3 9:59:21)已知函数f(x)=2sinx(2x+π/3)+a (a属于R,a为常数）（1）求函数的最小正
1年前
1个回答
已知函数φ(x)＝ax+1，a为正常数．
1年前
1个回答
已知函数f(x)的定义域是一切非零实数,且满足3f（x)+2f(1/x)=4x,求f(x)的表达式
1年前
2个回答
已知函数y=│ax-1│的图像关于x=2对称,求非零实数a的值.
1年前
1个回答
已知函数φ(x)＝ax+1，a为正常数．
1年前
1个回答
（2014•盐城三模）已知函数f（x）=lnx-ax，a为常数．
1年前
1个回答
已知函数 φ(x)= a x+1 ，a为正常数．
1年前
1个回答
已知函数f(x)＝alnx−1x，a为常数．
1年前
已知函数f(x)的定义域是一切非零实数,且满足f(x)+2f(1/x)=3x,求f(x)的表达式
1年前
1个回答
已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+6/π)+2a+b,当x属于[0,2/π]时f(x)的值域为[-5,1],
1年前
1个回答
已知函数f(x)＝2x，x≥2(x−1)3，x＜2，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是__
1年前
1个回答
已知函数y=log2(ax2+2x+1)若此函数的定义域为(-无穷,-2-根号2)并(-2+根号2,+无穷)
1年前
1个回答
你能帮帮他们吗
方程,希望迅速一点（都是X解的）
1年前
2个回答
已知X是最小的正整数,Y,Z是有理数,并且有2+Y的绝对值+3X+2Z的平方=0,求式子X-Y+2Z的值.
1年前
2个回答
40.下列各句中加点的熟语使用不恰当的一项是D
1年前
3个回答
师徒二人同时加工一批零件，完成任务时，师傅比徒弟多加工了30个．已知单独加工完这批零件，师傅要6小时，徒弟要10小时．这
1年前
1个回答
人教版八年级上册四单元作文：答案是丰富多彩的（
1年前
1个回答
精彩回答
下列各项中，不含古今异义词的一项 [ ] A．子路从而后，遇丈人 B．子路问成人 C．欲洁其身，而乱大伦 D．古之学者为己
9个月前
悬赏5滴雨露
1个回答
东周建立的时间是 [ ]
10个月前
1个回答
“天宫一号”运行轨道所处大气层的特点是 [ ]
1年前
1个回答
判断:用电池做磁偏转实验时，不能将电池长时间短路接通。
1年前
1个回答
Copyright © 2021 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.121 s. - webmaster@yulucn.com
