数列前N项和1+2^2+3^2+…n^2=n(n+1)(2n+1)/6证明的详细过程
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∵ （n+1)³ = n³ + 3n² + 3n +1
∴ （n+1)³ - n³ = 3n² + 3n +1
n=1 时,2³ - 1³ = 3×1² + 3×1 + 1
n=2时,3³ - 2³ = 3×2² + 3×2 + 1
n=3时,4³ - 3³ = 3×3² + 3×3 + 1
……
n取n+1时（n+1)³ - n³ = 3×n² + 3×n +1
以上 n 个式子相加得：
（n+1)³ - 1³ = 3（1²+2²+3²+…+n²）+ 3（1+2+3+…+n） + n
整理得 n³ + 3n² +3n = 3（1²+2²+3²+…+n²）+ 3× n(n+1)/2 +n
n³ + 3n² +3n - 3× n(n+1)/2 - n = 3（1²+2²+3²+…+n²）
n³ + 3n² +3n - 3n²/2 - 3n/2 - n = 3（1²+2²+3²+…+n²）
n³ + 3n²/2 + n/2 = 3（1²+2²+3²+…+n²）
上式左、右交换：
3（1²+2²+3²+…+n²）= n³ + 3n²/2 + n/2
3（1²+2²+3²+…+n²）= （1/2）（2n³ + 3n² + n ）
= （1/2) n( 2n² + 3n + 1)
= (1/2)n(n+1)(2n+1)
∴ 1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/3
证毕.
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