函数f(x)＝log9(x+8−ax)在[1，+∞ - 已解决

函数f(x)＝log9(x+8−ax)在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

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解题思路：由函数

f(x)＝lo

(x+8−

)

在[1，+∞）上是增函数可以得到两个信息：

①对任意的1≤x₁＜x₂，总有f（x₁）＜f（x₂）；

②当x≥1时，

x+8−

＞0

恒成立．

∵函数f(x)＝log9(x+8−

x)在[1，+∞）上是增函数，

∴对任意的1≤x₁＜x₂，有f（x₁）＜f（x₂），

即log9(x1+8−

x1)＜log9(x2+8−

x2)，

得x1+8−

x1＜x2+8−

x2，即(x1−x2)(1+

x1x2)＜0，

∵x₁-x₂＜0，∴1+

x1x2＞0，[a

x1x2＞−1，a＞-x₁x₂，

∵x₂＞x₁≥1，∴要使a＞-x₁x₂恒成立，只要a≥-1；

又∵函数f(x)＝log9(x+8−

a/x)在[1，+∞）上是增函数，∴1+8-a＞0，

即a＜9，综上a的取值范围为[-1，9）．

另（用导数求解）令g(x)＝x+8−

x]，

函数f(x)＝log9(x+8−

x)在[1，+∞）上是增函数，

∴g(x)＝x+8−

x在[1，+∞）上是增函数，g′(x)＝1+

x2，

∴1+8-a＞0，且1+

x2≥0在[1，+∞）上恒成立，得-1≤a＜9．

点评：

本题考点：复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评：本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1是对数函数单调递增，当底数大于0小于1时对数函数单调递减．

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