解题思路：（Ⅰ）由a1=2，an+1=a
2
n
-nan+1，n=1，2，3…，可求得a2=3，继而可求得a3=4，a4=5，由此猜想an的一个通项公式：an=n+1；
（Ⅱ）利用数学归纳法证明：易证①当n=1时，不等式成立；
②假设当n=k时结论成立，即ak≥k+2，去推证n=k+1时，结论也成立即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，an+1=an（an-n）+1≥2an+1，整理可得an+1+1≥2（an+1），于是[1
1+
a
n+1
≤
1/2]•
1
1+
a
n
，反复放缩，可得
1
1+
a
n
≤=
(
1
2
)
n+1
，利用等比数列的求和公式可证得结论成立．
（Ⅰ）由a1=2，得a2=a12-a1+1=3；
由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4；
由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5；
由此猜想an的一个通项公式：an=n+1…4分
（Ⅱ）证明：①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立…6分
②假设当n=k时结论成立，即ak≥k+2，则ak+1+1=ak（ak-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1≥k+3=（k+1）+2，
即n=k+1时，结论也成立．
由①和②可知，an≥n+2…10分
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，an+1=an（an-n）+1≥2an+1，
即an+1+1≥2（an+1），于是[1
1+an+1≤
1/2]•[1
1+an，…12分
所以
1
1+an≤
1/2]•[1
1+an−1≤(
1/2)2•
1
1+an−2]≤…≤(
1
2)n−1•[1
1+a1=(
1/2)n+1．
∴
1
1+a1]+[1
1+a2+…+
1
1+an≤(
1/2)2+(
1
2)3+…+(
1
2)n+1=
(
1
2)2[1−(
1
2)n]
1−
1
2]=[1/2]-(
1
2)n+1＜[1/2]．
点评：
本题考点： 数学归纳法；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列递推关系的应用，着重考查数学归纳法的应用，考查归纳猜想、放缩法的应用及推理论证的能力，是难题．
1年前
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