如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．
2个回答
解题思路：（1）有BD=CD，可得∠1=∠BCD，那么就有∠2=∠BCD，从而CD∥AB；
（2）由∠2=∠3，可得BE=AE，又因为CD∥AB，同样可知DE=CE，根据SAS即可证出：△BDE≌△ACE；
（3）由于O是AB的中点，因此只需证得AF=EF即可得出OF是△ABE的中位线，进而可得出OF=[1/2]BE．根据（2）的全等三角形，可得出∠ACE=90°，因此可通过证CF是直角三角形ACE斜边上的中线，来得出AF=EF．
证明：（1）∵BD=CD，
∴∠BCD=∠1；
∵∠1=∠2，
∴∠BCD=∠2；
∴CD∥AB．
（2）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠3．
∵∠BCD=∠2=∠3，
∴BE=AE．
且∠CDA=∠BCD，
∴DE=CE．
在△BDE和△ACE中，
∵
DE＝CE
∠DEB＝∠CEA
BE＝AE．
∴△BDE≌△ACE（SAS）；
（3）∵△BDE≌△ACE，
∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°-∠BCH；
又∵CH⊥AB，
∴∠2=90°-∠BCH；
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，
∴AF=CF；
∵∠AEC=90°-∠4，∠ECF=90°-∠ACH，
又∵∠ACH=∠4，
∴∠AEC=∠ECF；
∴CF=EF；
∴EF=AF；
∵O为AB中点，
∴OF为△ABE的中位线；
∴OF=[1/2]BE．
点评：
本题考点： 三角形中位线定理；平行线的判定；全等三角形的判定与性质．
考点点评： 本题利用了内错角相等，两直线平行，以及全等三角形的判定和性质，等角对等边，中位线的判定等知识．综合性强，难度较大．
相关问题
