解题思路：（1）连结CM，在RT△ACM中，利用勾股定理求出CM的长即可求出△ACE的面积；
（2）△FMH是等腰直角三角形，连结BM，DM，首先证明四边形四边形BCDM是边长1的菱形，设∠A=α，则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．利用三角形的内角和证明∠FMH=180°-∠AMH-∠CMH=180°-（α+θ）=90°即可；
（3）作△HMD的边MD上的高HQ，则由勾股定理有求出DQ的长，再利用三角形的面积公式即可求出△FMH的面积．
（1）连结CM，
∵CA=CE=2，M分别是边AE的中点，
∴CM⊥AE．…（1分）
在RT△ACM中，AM＝
1
2AE＝c，
由勾股定理得，CM＝
AC2−AM2＝
4−c2．
∴S△ACE=[1/2]AE•CM=c
4−c2．…（2分）
（2）△FMH是等腰直角三角形．…（3分）
证明：连结BM，DM．∵CA=CE=2，
点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，∴BC=CD=BM=DM=1．…（4分）
∴四边形BCDM是边长为1的菱形，
∴∠CBM=∠CDM．
∴∠CBM+∠FBC=∠CDM+∠HDC，即∠FBM=∠HDM，
∴△FBM≌△MDH．…（4分）
∴FM=MH，且∠FMB=∠HMD（设大小为θ）．
又设∠A=α，则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．
在△MDH中，DM=DH=1，
∴∠DHM=∠DMH=θ，
由三角形内角和定理可有：∴∠DHM+∠DMH+∠MDH=180°，
得：θ+θ+2α+90°=180°，
∴α+θ=45°．…（5分）
∴∠FMH=180°-∠AMH-∠CMH=180°-2（α+θ）=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形． …（6分）
（3）在等腰△ACE中，∠ACE=180°-2α，
又当∠GCN=30°时，∠ACE=360°-∠GCN=180°-30°=150°
从而有：180°-2α=150°，又α+θ=45°，得θ=30°，α=15°．…（7分）
如图，作△HMD的边MD上的高HQ，则由勾股定理有：
DQ＝
1
2DH＝
1
2，HQ2＝DH2−DQ2＝12−(
1
2)2＝
3
4MQ＝1+
1
2＝
3
2，MH2＝MQ2+HQ2＝
9
4+
3
4＝3…（8分）
∴△FMH的面积S△FMH＝
1
2FM×HM＝
1
2HM2＝
3
2
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 本题考查了勾股定理的运用、菱形的判定、等腰直角三角形的判定、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性强难度大．解题的关键是作△HMD的边MD上的高HQ，构造直角三角形．
