必要性：
∵lim(x→0)f(x)/|x|存在
lim(x→0)|x|=0
∴lim(x→0)f(x)=0
又由于f(x)在x=0连续
∴f(0)=0
当f(x)在x=0可导时 lim(x→0+)f(x)/x=A
lim(x→0-)f(x)/x= lim(x→0-)-f(x)/|x|=-A
A=-A
∴ A=0
充分性
lim(x→0)f(x)/x=lim(x→0)[f(x)/|x|]sgn(x)=0
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