圆锥曲线若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程
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(1) 椭圆 焦点为(-c,0),(c,0), c=√(a^2-b^2)抛物线经过椭圆焦点,则 c^2=b^2 => b=c由c=√(a^2-b^2)可得(c/a)^2=1/2 => e=c/a=1/√2(2) 抛物线开口向下,与椭圆至少有两个交点将x^2=b^2-by,a=√2c=√2b代入椭圆,整理,得 2y^2-by-b^2=0解得y1=b, y2=-b/2代入抛物线,可解得y1=b时,x=0；y2=-b/2时,x1,2=±√6/2*bM,N不在y轴上,则横坐标取值只能为x1,2=±√6/2*b,纵坐标为y2=-b/2△QMN的重心为(x(G),y(G))=[(3+x(M)+x(N))/3,(b+y(M)+y(N))/3]x(G)=(3+x1+x2)/3=(3+0)/3=1y(G)=(b+y1+y2)/3=(b-b/2-b/2)/3=0∴重心G=G(1,0)将重心坐标代入抛物线,得1+0=b^2 => b=1；∴a=√2b=√2抛物线方程为C1：x^2+y=1椭圆方程为C2：x^2/2+y^2=1
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