设X1、X2、X3……Xn是整数,
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设其中有a个2,b个1,c个零,d个-1,可知a+b+c+d=n

且a,b,c,d均为大于等于零的整数,并满足

2a+b-d=19

4a+b+d=99

令S=X1的立方+X2的立方+……Xn的立方

则有S=8a+b-d

以S为参数,将三个方程联立解得

a=(S-19)/6

b=(137-s)/2

d=(259-S)/6

由于a=(S-19)/6=(S-1)/6-3为整数,可知S=6k+1(k是整数)

且满足,

(S-19)/6≥0

(137-s)/2≥0

(259-S)/6≥0

故有,19≤S≤137

由于,S是6k+1型的数字,所以,S的最小值为19,最大值为133.