已知抛物线y=a（x-t）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，点B与点A关于原点对称．
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解题思路：（1）根据函数解析式即可得出A点的坐标，然后根据中心对称的性质求得B点的坐标；
（2）把A点的坐标代入直线y=2x中得t的值，把B点 的坐标代入y=a（x-t）2+t2中得a=-[1/2]，即可得出抛物线的解析式；
（3）先求得A、B的坐标，设出C点的坐标为（2，m），分两种情况讨论即可求得．
（1）∵抛物线y=a（x-t）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，
∴A（t，t2），
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（-t，-t2）．
（2）∵直线y=2x经过点A，
∴t2=2t，
解得：t=2，t=0（舍去）
∵抛物线y=a（x-t）2+t2经过点B，
∴-2t2=a（-t-t）2+t2，
解得：a=-[1/2]，
∴抛物线的解析式为y=-[1/2]（x-2）2+4；
（3）存在；
如图，∵抛物线的解析式为y=-[1/2]（x-2）2+4，
∴A（2，4），B（-2，-4）
设C（2，m），
当AC=BC时，
则（4-m）2=（2+2）2+（-4-m）2，
解得：m=-1，
∴C1（2，-1），
当AB=AC时，
则（4-m）2=（2+2）2+（4+4）2，
解得：m=4+4
5或m=4-4
5，
∴C2（2，4-4
5），C3（2，4+4
5），
∴存在点C，使得△ABC等腰三角形，点C坐标为C1（2，-1），C2（2，4-4
5），C3（2，4+4
5）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
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