（2014•南开区二模）已知函数f(x)＝sin(2x+π6)+sin(2x−π6)+2cos2x．
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解题思路：（I）根据三角恒等变换公式，化简得f（x）=
2sin(2x+
π
6
)+1
，再由三角函数的周期公式与单调区间的公式加以计算，可得f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）由（I）化简不等式f（x）≥2，得到
sin(2x+
π
6
)≥
1
2
，再利用正弦函数的图象与性质，即可求出满足条件的实数x的取值范围．
（Ⅰ）∵sin(2x+
π
6)=sin2xcos
π
6+cos2xsin
π
6，
sin(2x−
π
6)=sin2xcos
π
6−cos2xsin
π
6，cos2x=[1/2(cos2x+1)
∴f(x)＝sin(2x+
π
6)+sin(2x−
π
6)+2cos2x
=sin2xcos
π
6+cos2xsin
π
6+sin2xcos
π
6−cos2xsin
π
6+cos2x+1
=
3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
π
6)+1
可得f（x）的最小正周期T＝
2π
|ω|＝
2π
2＝π．
令−
π
2+2kπ≤2x+
π
6≤
π
2+2kπ（k∈Z），解之得−
π
3+kπ≤x≤
π
6+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的递增区间是[−
π
3+kπ，
π
6+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由f（x）≥2，得2sin(2x+
π
6)+1≥2（k∈Z），即sin(2x+
π
6)≥
1
2]，
根据正弦函数的图象，可得[π/6]+2kπ≤2x+
π
6≤[5π/6]+2kπ（k∈Z），
解之得kπ≤x≤kπ+
点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．
考点点评： 本题给出三角函数表达式，求函数的单调区间与周期，并求关于x的不等式的解集．着重考查了两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
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