一元三次函数是否都有对称轴,如果有,如何去求!
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按照定义的方法求解.
对于任意函数 f(x),考察它是否有对称点,不妨先假设有对称点,不妨设为 (x0,y0),则有 f(x)关于(x0,y0)对称,当且仅当 f(x0-x)+f(x0+x)≡2y0,也即
f(x0-x)+f(x0+x)-2y0≡0
当 f(x)是多项式函数的时候,上式左边是一个含有x的多项式函数,多项式恒为0,当且仅当x的各项系数均为0.
根据这个思路可以来看一元三次函数是否都有对称点,此过程也能同时求解对称点,如果有的话.
设f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a≠0)
假设此函数有对称点(x0,y0),则有
f(x0-x)+f(x0+x)-2y0≡0
化简整理得
(6ax0+2b)x^2+2f(x0)-2y0≡0
上式成立,当且仅当
6ax0+2b=0 也即 3ax0+b=0
f(x0)=y0
同时成立
解得：x0=-b/(3a),y0=f(x0)
也即任意的一元三次函数都有唯一的对称中心,这个对称中心根据上面的解的结果求得.
当f(x)=x^3-3x^2+6x-7时,
x0=1,y0=f(x0)=-3
