两道高二数学在正方体ABCD-A1B1C1D1中,则异面直线DB与AC1所成的角等于( )A30 B45 C60 D90
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1、D 90°

设正方体边长为1

做C1E‖BD交A1B1的延长线为E.

则,B1E=A1B1=1

而 角对角线,AC1=√3,面对角线C1E=√2

且 AE的平方=A1E的平方+A1A的平方

所以 AE=√5.

则三角形AC1E的三边分别为,AC1=√3,C1E=√2,AE=√5

所以∠AC1E=90°

所以DB与AC1所成的角为90°

2、(√2)/(√5)

法1：等体积法：

设 C1 到 面BDD1B1 的距离为 h

VD1-B1C1B=VC1-D1B1B （两个三棱锥的体积相等）

1/3×C1D1×S三角形B1C1B = 1/3×h×S三角形D1B1B

1/3×2×1=1/3×h×√2

所以h=√2

所以sin夹角=(√2)/(√5)

法2：作C1E⊥D1B1,而B1B⊥面A1D1C1B1,所以C1E⊥BB1,

所以 C1E⊥面B1BDD1

所以 ∠C1BE即为所求

因为 AB=BC=2,

所以 C1E=√2

因为 AB=BC=2,AA1=1,

所以 BC1=√5

所以 sin夹角=(√2)/(√5)

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