（2012•肇庆二模）若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf
1个回答
解题思路：令x=0，可得
f(
1
2
)＝−
1
2
f(0)
．若f（0）=0，f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，
f(
1
2
)•f(0)＝−
1
2
(f(0)
)
2
＜0
．可得f（x）在
(0，
1
2
)
上必有实根，可判断A
假设f（x）=x2是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，则有λ+1=2λ=λ2=0，解方程可判断B
因为f（x）=log2x的定义域不是R可判断C
设f（x）=C则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，可判断D
令x=0，得f(
1
2)+
1
2f(0)＝0．所以f(
1
2)＝−
1
2f(0)．若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f(
1
2)•f(0)＝−
1
2(f(0))2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在(0，
1
2)上必有实数根．因此任意的“
1
2−同伴函数”必有根，即任意“
1
2−同伴函数”至少有一个零点．：A正确，
用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ-同伴函数”．B错误
因为f（x）=log2x的定义域不是R．C错误
设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”．D错误，
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；抽象函数及其应用；函数的零点．
考点点评： 本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-同伴函数的定义，是解答本题的关键．
相关问题
